Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓經過點，離心率為. 已知過點的直線與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）試問軸上是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）先根據已知得到三個方程解方程組即得橢圓C的方程. (2) 設N(n，0)，先討論l斜率不存在的情況得到n=4,再證明當N為(4，0)時，對斜率為k的直線l：y＝k(x－)，恒有＝12．

詳解：（1）離心率e＝，所以c＝a，b＝＝a，

所以橢圓C的方程為．

因為橢圓C經過點，所以\，

所以b2＝1，所以橢圓C的方程為．

（2）設N(n，0)，

當l斜率不存在時，A(，y)，B(，－y)，則y2＝1－＝，

則＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，

當l經過左右頂點時，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．

令n2－n－＝n2－4，得n＝4．

下面證明當N為(4，0)時，對斜率為k的直線l：y＝k(x－)，恒有＝12．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2

＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)

＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2

＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2

＝＋16＝12．

所以在x軸上存在定點N(4，0)，使得為定值．