Question

給定函數①y=x -

1

2

，②y=2 x2-3x+3，③y=log 

1

2

|1-x|，④y=sin

πx

2

，其中在（0，1）上單調遞減的個數為（　　）

Answer 1

分析：函數①為冪函數，且冪指數小于0，有冪函數的性質可判其在（0，1）上的單調性；
函數②是指數型的復合函數，內層是二次函數，外層是指數函數，由復合函數的單調性可判它在（0，1）上的單調性；
函數③是對數型的復合函數，外層對數函數是減函數，只要借助于圖象分析內層函數t=|1-x|在（0，1）上的單調性即可；
函數④是正弦類型的函數，求出周期后借助于正弦函數的單調性可判斷它在（0，1）上的單調性．

解答：解：①為冪函數，因為-

1

2

＜0，所以y=x-

1

2

在（0，1）上遞減．
②令t=x2-3x+3=(x-

3

2

)2+

3

4

，該二次函數在（0，1）上遞減，而外層函數y=2^t為增函數，所以函數y=2x2-3x+3在（0，1）上遞減．
③y=log

1

2

|1-x|=log

1

2

|x-1|，令t=|x-1|，該內層函數在（0，1）遞減，而外層函數y=log

1

2

t在定義域內為減函數，所以復合函數y=log 

1

2

|1-x|為（0，1）上的增函數．
④y=sin

π

2

x的周期T=4，由正弦函數的單調性知，y=sin

π

2

x在（0，1）上單調遞增．
所以滿足條件的有2個．
故選C．

點評：本題考查了基本初等函數單調性的判斷，考查了復合函數的單調性，復合函數的單調性符合“同增異減”的原則，此題是基礎題．