Question

設函數f(x)=(

1

2

)10-ax，a為常數，且f（3）=

1

2

（1）求a值；
（2）求使f（x）≥4的x值的取值范圍；
（3）設g（x）=-

1

2

x+m，對于區間[3，4]上每一個x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(3)=

1

2

，可得(

1

2

)10-3a=

1

2

，利用指數函數的單調性可得10-3a=1解出即可．
（2）由已知(

1

2

)10-3x≥4=(

1

2

)-2，利用指數函數的單調性即可得出10-3x≤-2．
（3）由題意f（x）＞g（x）化為(

1

2

)10-3x＞-

1

2

x+m恒成立．即m＜(

1

2

)10-3x+(

1

2

)x在[3，4]恒成立．設h(x)=(

1

2

)10-3x+

1

2

x，上述問題等價于m＜h（x）min，利用函數y=(

1

2

)10-3x與y=

1

2

x在在[3，4]為增函數，可得h（x）在[3，4]為增函數，即可得到h（x）的最小值．

解答：解：（1）由f(3)=

1

2

，即(

1

2

)10-3a=

1

2

，
∴10-3a=1，解得a=3．
（2）由已知(

1

2

)10-3x≥4=(

1

2

)-2，
∴10-3x≤-2．
解得x≥4
故f（x）≥4解集為{x|x≥4}．
（3）依題意f（x）＞g（x）化為(

1

2

)10-3x＞-

1

2

x+m恒成立
即m＜(

1

2

)10-3x+(

1

2

)x在[3，4]恒成立
設h(x)=(

1

2

)10-3x+

1

2

x
則m＜h（x）min，
∵函數y=(

1

2

)10-3x與y=

1

2

x在在[3，4]為增函數，
可得h（x）在[3，4]為增函數，
∴h(x)min=h(3)=

1

2

+

3

2

=2，
∴m＜2．

點評：本題考查了指數函數的單調性、恒成立問題等價轉化問題等基礎知識與基本技能，屬于中檔題．