Question

要在墻上開一個矩形的玻璃窗，周長限定為6米，
（1）求以矩形的一邊長x表示窗戶的面積y的函數；
（2）求這函數圖象的頂點坐標及對稱軸方程；
（3）畫出這函數的圖象，并求出x的允許值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于矩形的周長為定值，所以若設其長為x米，則其寬為3-x，代入矩形面積公式易得邊長x表示窗戶的面積y的函數；
（2）根據二次函數的性質，我們對（1）的結論進行配方，化為頂點式后，易得函數圖象的頂點坐標及對稱軸方程；
（3）根據函數解析式，我們可以確定函數圖象的頂點、與坐標軸的交點，開口方向等，然后不難畫出函數的圖象，再由其長為x米，則其寬為3-x，均為正數，易得出x的允許值范圍．

解答：解：（1）因為矩形周長為6米，
所以若設其長為x米，則其寬為3-x，
∴窗戶的面積y=x（3-x）=-x²+3x．
（2）由y=-x²+3x，可得y=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
故其頂點坐標為(

3

2

，

9

4

)，
對稱軸方程為x=

3

2

．
（3）令x²-3x=0，
∴x₁=0，x₂=3．
故圖象與x軸相交于點（0，0），（3，0），其圖象如圖，
根據問題的實際意義，必須y＞0，
所以x的允許值范圍為：0＜x＜3．

點評：點評：在不等式的實際應用中，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮，如本題中，窗口的長為x米，則其寬為3-x，均為正數，故x的允許值范圍為：0＜x＜3．