Question

要在墻上開一個上部為半圓，下部為矩形的窗戶（如圖所示），在窗框總長度為l的條件下，
（1）請寫出窗戶的面積S與圓的直徑x的函數關系；
（2）要使窗戶透光面積最大，窗戶應具有怎樣的尺寸？并寫出最大值．

Answer 1

分析：（1）窗戶的面積S由兩部分組成，一部分是半圓，一部分是矩形，分別求出它們的面積，相加即可得到窗戶的面積S與圓的直徑x的函數關系；
（2）根據二次函數的性質可求出面積關于直徑x的函數的最值，然后求出取最值時相應的x即可．

解答：解：（1）設半圓的直徑為x，矩形的高度為y，
窗戶透光面積為S，
則窗框總長l=

πx

2

+x+2y
∴y=

2l-(2+π)x

4

S=

π

8

x2 +xy=

π

8

x2+

2l-(2+π)x

4

•x
∴S=-

4+π

8

x²+

l

2

x  （0＜x＜

2l

π+2

）
（2）S=-

4+π

8

（x-

2l

4+π

）²+

l2

2(4+π)

當x=

2l

4+π

時，S_max=

l2

2(4+π)

此時，y=

l

4+π

=

x

2

…7分
答：窗戶中的矩形高為

l

4+π

，且半徑等于矩形的高時，窗戶的透光面積最大．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及圓的面積和二次函數的性質，同時考查了計算能力，屬于中檔題．