Question

定義在R上的函數f（x）滿足：如果對任意x₁，x₂∈R，都有，則稱f（x）是R上凹函數．已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求證：當a＞0時，函數f（x）的凹函數；
（2）如果x∈[0，1]時，|f（x）|≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）的解析式，根據凹函數定義即可驗證；
（2）由|f（x）|≤1表示出關于a的不等式，利用分離參數法，根據x的取值范圍進行分析可得答案．
解答：（1）證明：∵二次函數f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，則=a（）²+-（+）=-
∵a＞0，，∴
∴
∴
∴當a＞0時，函數f（x）的凹函數；
（2）解：由-1≤f（x）=ax²+x≤1，則有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0時，則a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]時，有 a≥--且a≤-+
∴a≥--=-（+）²+且a≤-+=（-）²-，
∵0＜x≤1，∴≥1．
∴當=1時，-（+）²+的最大值為-（1+）²+=-2，（-）²-的最小值為（1-）²-=0
∴0≥a≥-2．
綜（i）（ii）知，0≥a≥-2
點評：本題考查新定義--凹函數，考查學生對新定義的理解，考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，屬于中檔題．