Question

用向量法證明三角形的三條中線交于一點.

Answer 1

思路分析：解決本題有兩個關鍵點:一是由題意證明三線交于一點,需先明確要用同一法;二是利用向量證明兩點重合的方法是構造以同一點為起點,這兩點為終點的兩向量相等,從而得這兩點重合.

證明:設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、AC、AB的中點,

令=a,=b為基底,

則=a-b,=a-b,=-a+b,

設AD與BE交于點G₁,且=λ,=μ,

則有=λa-b,=-a+μb.

又有=+=(1-)a+(μ-1)b,

∴

解得λ=μ=,

∴=,

再設與交于G₂,

同理求得=,

∴G₁點、G₂點重合,即AD、BE、CF交于一點.

∴三角形三條中線交于一點.

溫馨提示

    平面向量基本定理是向量法的理論基礎,這個定理揭示了平面向量是由平面內兩個不共線向量“生成”的,或者說,任一平面向量均可用平面內的任意兩個不共線向量線性表示的實質,它不僅提供了向量的幾何表示方法,同時也使向量用坐標來表示成為可能,從而架起了向量的幾何運算與代數運算之間的橋梁.如我們已經證明過的結論:若A、B是直線l上任意兩點,O是l外一點,則對直線l上任一點P,存在實數t,使OP關于基底{,}的分解式為=(1-t) +t(*)并且滿足(*)式中點P一定在l上.

    實際上,向量等式(*)叫做直線l的向量參數方程式,其中實數t叫做參變數,簡稱參數.