Question

設函數y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定義域．
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對數的運算法則，結合對數式與指數式的互化，可得函數的解析式，利用真數大于0，可得函數的定義域；
（Ⅱ）根據定義域，確定指數的范圍，再利用指數函數的單調性，可求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）．
∴lg（lgy）=lg[3x（3-x）]
∴lgy=3x（3-x）
∴y=10^3x（3-x）
∵

3x＞0 3-x＞0

，∴0＜x＜3，即函數的定義域為（0，3）；
（Ⅱ）令t=3x（3-x）=-3[（x-

3

2

）²-

9

4

]
∵x∈（0，3），∴t∈（0，

27

4

]
∴10^t∈(1，10

27

4

]
∴函數的值域為(1，10

27

4

]．

點評：本題考查對數的運算法則，考查函數的解析式與值域，正確運用對數的運算法則是關鍵．