Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）．
①求f（x）的解析式，定義域；
②討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的值域．

Answer 1

解：①∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴l(xiāng)gy=3x（3-x），
即f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）
②由①知，f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）
令u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，]上單調(diào)遞增，在[）上單調(diào)遞減，
而10^u是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0，3時(shí)，f（x）取最小值1，當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最大值．
∴f（x）的值域?yàn)椋?，]．
分析：①根據(jù)lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函數(shù)的定義域，即lgy=3x（3-x），再利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化即可求得求f（x）的解析式，定義域；②根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，外函數(shù)10^u是增函數(shù)，內(nèi)涵式u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，]上單調(diào)遞增，在[）上單調(diào)遞減，從而求得函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和定義域，以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法等基礎(chǔ)題知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力．