Question

設函數y=f（x）且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）．
①求f（x）的解析式，定義域；
②討論f（x）的單調性，并求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：①根據lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），和對數的運算法則，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函數的定義域，即lgy=3x（3-x），再利用指數和對數的互化即可求得求f（x）的解析式，定義域；②根據復合函數的單調性進行判斷，外函數10^u是增函數，內涵式u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，]上單調遞增，在[）上單調遞減，從而求得函數的單調性，并根據單調性求得函數的值域．
解答：解：①∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴lgy=3x（3-x），
即f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）
②由①知，f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）
令u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，]上單調遞增，在[）上單調遞減，
而10^u是增函數，
∴f（x）在（0，]上單調遞增，在[）上單調遞減，
∴當x=0，3時，f（x）取最小值1，當x=時，f（x）取最大值．
∴f（x）的值域為（1，]．
點評：此題是中檔題．考查了對數的運算法則和定義域，以及指數與對數的互化，復合函數單調性的判定方法等基礎題知識，同時考查學生分析解決問題的能力．