Question

設數列{a_n}的前項和為S_n，a1=1，an=

Sn

n

+2(n-1)．
（1）求數列{a_n}的通項a_n的表達式；
（2）是否存在自然數n，使得S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2=2011？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知s_n求a_n是數列中的常見題形，解決的辦法是分n=1與n≥2兩種情況分別求得a₁與a_n，從而可求得a_n；
（2）在n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

sn

n

+2(n-1)，經過合理轉化，可得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2，又a₁=1，利用等差數列的定義可以求得

sn

n

，從而問題解決．

解答：解：（1）∵an=

sn

n

+2(n-1)，
∴na_n=s_n+2n（n-1）①，
　（n-1）a_n-1=s_n-1+2（n-1）（n-2）（n≥2）②，
①-②有：（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4（n-1）（n≥2），
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
∴{a_n}是1為首項，4為公差的等差數列，
∴a_n=4n-3．
　（2）由已知條件可得，當n≥2時，sn-sn-1=

sn

n

+2(n-1)，
　整理得：（n-1）s_n-ns_n-1=2n（n-1），等式兩端同除以n（n-1），
　得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2（n≥2），又

s1

1

=a1=1，
∴{

sn

n

}是1為首項，2為公差的等差數列，
∴

sn

n

=2n-1．
∴

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=

(1+2n-1)•n

2

-(n-1)2=2n-1，
∴存在自然數n，使等式成立，則2n-1=2011，解得n=1006，合乎題意．

點評：本題考查遞推數列，考查數列通項公式的求法與數列求和，解題的關鍵是合理轉化，利用等差數列的定義求通項，利用等差數列的求和公式求數列的和．