Question

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-m(x-3)

（n∈N^*）
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均
為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達(dá)式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{

1

Sn

}的前項(xiàng)和T_n，
是否存在自然數(shù)m？使得對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上．記直線y=-mx+3m為l，l與直線x=1和x=2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*），再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅱ）先求得Sn=

3n(n+1)

2

，所以Tn=

2n

3(n+1)

．因?yàn)閷σ磺衝∈N^*，T_n＞m恒成立，所以m＜T_n的最小值，從而可求．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，D₁為Rt△OAB₁的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a₁=3，
當(dāng)n=2時(shí)，D₂為Rt△OAB₂的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a₂=3，
當(dāng)n=3時(shí)，D₃為Rt△OAB₃的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a₃=9
由此可猜想a_n=3n
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=3k
如圖，平面區(qū)域D_k為Rt△OAB_k內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域D_k+1為Rt△△OAB_k+1內(nèi)部包括斜邊，∵平面區(qū)域D_k+1比平面區(qū)域D_k多3個(gè)整點(diǎn)，（7分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=3k+3=3（k+1），這就是說當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，
由（1）、（2）知a_n=3n對一切n∈N^*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵a_n=3n，∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，
∴Sn=

3n(n+1)

2

．∴

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，∴Tn=

2n

3(n+1)

∵對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立，∴m＜T_n的最小值．
∵Tn=

2n

3(n+1)

在[1，+∞）上為增函數(shù)∴T_n的最小值為

1

3

，∴m＜

1

3

，滿足m＜

1

3

的自然數(shù)為0，
∴滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用和不等式的應(yīng)用．