Question

【題目】在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，且，，又M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則M到三個(gè)側(cè)面的距離的平方和的最小值是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)三棱錐的特點(diǎn)求出其體積，然后利用柯西不等式求得結(jié)果．

令M到三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離分別為x、y、z，

∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝3，PC＝4，

∴VP﹣ABC（PAPB）PC（PAPB）z （PBPC）y（PAPC）x，

即 （3×3）×4（3×3）z（3×4）y（3×4），

化簡可得：，

∴1＝（）2≤[（）2+（）2+（）2]（xspan>2+y2+z2），

解得x2+y2+z2．當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立

又M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，

∴M到三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離的平方和的最小值是．

故答案為：．