Question

已知點(diǎn)P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF₁與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ） [－12，0]．

解析試題分析：（Ⅰ）點(diǎn)A代入圓C方程，
得．
∵m＜3，∴m＝1．       2分
圓C：．設(shè)直線P的斜率為k，
則PF1：，即．
∵直線P與圓C相切，∴．
解得．      4分
當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．
當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，
∴c＝4．（－4，0），（4，0）． 
2a＝A＋A＝，，a2＝18，b2＝2．
橢圓E的方程為：．    7分
（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，
．   9分
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
則的取值范圍是[0，36]．
的取值范圍是[－6，6]．
∴的取值范圍是[－12，0]．  13分
考點(diǎn)：本題主要考查直線方程，直線與圓的位置關(guān)系，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，研究直線與圓的位置關(guān)系，半徑、弦長一半、圓心到直線的距離所構(gòu)成的“特征三角形”是重點(diǎn)，考查知識(shí)覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力、數(shù)形結(jié)合思想有較好考查。