Question

3．已知x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，記{x}=x-[x]，若a∈（0，1），且$\{a\}＞\{a+\frac{1}{3}\}$，則實數a的取值范圍是[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據{x}=x-[x]，以及a∈（0，1），分a＜$\frac{2}{3}$，a=$\frac{2}{3}$，a＞$\frac{2}{3}$，分別比較即可．

解答 解：根據{x}=x-[x]，以及a∈（0，1），當0＜a＜$\frac{2}{3}$時，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$，此時，{a }＜{a+$\frac{1}{3}$}；
當a=$\frac{2}{3}$時，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$-1=0，此時，{a}＞{a+$\frac{1}{3}$}；
當1＞a$＞\frac{2}{3}$時，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$-1=a-$\frac{2}{3}$，此時，{a}＞{a+$\frac{1}{3}$}；
故實數a的取值范圍是[$\frac{2}{3}，+∞）$，故答案為是[$\frac{2}{3}，+∞）$

點評 本題考查了不等式比較大小，關鍵要理解新定義，找到分類的接點，屬于中檔題．