Question

20．已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)．當x≤0時，f（x）=4^-x-a•2^-x（a＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)秒，即可求出答案，
（Ⅱ）令t=2^x，則y=t²-at，t＞1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：當x＞0時，-x＜0，而f（x）為R上偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）=4^x-a•2^x，
∴當x＞0，f（x）=4^x-a•2^x，
（Ⅱ）令t=2^x，則y=t²-at，t＞1
若0≤$\frac{a}{2}$≤1時，y_min=1-a；若$\frac{a}{2}$＞1，y_min=（$\frac{a}{2}$）²-a•$\frac{a}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$
綜上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}，a＞2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．