Question

本題14分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.
（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線 交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.
∵，
∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
即.                                              
∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為
, 則.
∴.
∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.                          
(2) 由 消去化簡(jiǎn)整理得：.
設(shè)，，則.
△. ①                             
由 消去化簡(jiǎn)整理得：.
設(shè)，則,
△. ②                         
∵，
∴，即，
∴.
∴或.
解得或.                                                                    
當(dāng)時(shí),由①、②得 ，
∵Z,
∴的值為 ，，;
當(dāng)，由①、②得 ，
∵Z,
∴.
∴滿足條件的直線共有9條．         

略