Question

（2012•衡陽模擬）在長方形AA₁B₁B中，C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點，且AB=2AA₁=4（如左圖）將此長方形沿CC₁對折（如圖），使平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

（1）求證：∠ACB=90°；
（2）當點E在棱CC₁上的什么位置時，平面BA₁E與平面AA₁C₁C所成的銳二面角為60°？

Answer 1

分析：（1）由AC⊥CC₁，BC⊥CC₁，得∠ACB是二面角A-CC₁-B的平面角，利用平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C，可證∠ACB=90°；
（2）建立直角坐標系，設E（0，0，t），求出平面BA₁E的法向量

n

=(

t-2

2

，

t

2

，1)，利用平面AA₁C₁C的法向量為

m

=（0，1，0），平面BA₁E與平面AA₁C₁C所成的銳二面角為60°，根據向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：（1）證明：由AC⊥CC₁，BC⊥CC₁，得∠ACB是二面角A-CC₁-B的平面角
∵平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．
∴∠ACB=90°；
（2）解：建立如圖所示的直角坐標系，

則A₁=（2，0，2），B（0，2，0），設E（0，0，t）
∴

A1E

=(-2，0，t-2)，

BE

=(0，-2，t)
設平面BA₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，則

2x+(t-2)z=0 -2y+tz=0

令z=1，則

n

=(

t-2

2

，

t

2

，1)
∵平面AA₁C₁C的法向量為

m

=（0，1，0），平面BA₁E與平面AA₁C₁C所成的銳二面角為60°
∴cos60°=|

t 2

1× ( t-2 2 )2+ t2 4 +1

|，∴t=

5

-1
∴CE=

5

-1時，平面BA₁E與平面AA₁C₁C所成的銳二面角為60°．

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．