Question

已知四棱錐（如圖）底面是邊長為2的正方形.側棱底面，、分別為、的中點，于。

   （Ⅰ）求證：平面⊥平面；

   （Ⅱ）直線與平面所成角的正弦值為，求PA的長；

   （Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。

Answer 1

(1)證明見解析(2)2 (3)

解析:

（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角 

即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即為二面角P—MN—Q的平面角  …………12分

而

∴   …………14分