Question

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形為正方形，側面PDC為正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC中點．
（1）求證：平面EDB⊥平面PBC；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證兩個平面互相垂直，常規的想法是：證明其中一個平面過另一個平面的一條垂線，由于側面PDC為正三角形，所以，DE⊥PC，那么我們自然想到：是否有DE⊥平面PBC，由此可證結論；
（2）確定∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角，在Rt△ECB中，可求二面角B-DE-C的平面角的正切值．

解答：（1）證明：∵面PDC⊥底面ABCD，交線為DC，∴DE在平面ABCD內的射影就是DC．
在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB．
又PC∩BC=C，PC，BC?面PBC，∴DE⊥面PBC．
又DE?面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC．
（2）解：由（1）的證明可知：DE⊥面PBC，所以，∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角．
∵面PDC⊥底面ABCD，交線為DC，平面ABCD內的直線CB⊥DC．
∴CB⊥面PDC．
又PC?面PDC，∴CB⊥PC．
在Rt△ECB中，tan∠BEC=

BC

CE

=2．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定方法，正確作出面面角．