Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求證：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中點，求三棱錐M-ACD的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB∥DC，結合線面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，由已知中DC=1，AB=2，我們根據勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，結合線面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中點，則M到面ADC的距離是P到面ADC距離，即PA的一半，根據其它已知條件計算出棱錐的底面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB∥CD
又∵AB?平面PCDCD?平面PCD
∴AB∥平面PCD
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形，
∴AE=DC=1
又AB=2，∴BE=1
在Rt△BEC中，∠ABC=45°
∴CE=BE=1，CB=

2

∴AD=CE=1
則AC=

AD2+CD2

=

2

，AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（Ⅲ）∵M是PC中點，
∴M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半
∴VM-ACD=

1

3

S△ACD•(

1

2

PA)=

1

3

×(

1

2

×1×1)×

1

2

=

1

12

．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，以及幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查了數形結合思想、化歸轉化思想、必然與或然思想；屬于立體幾何中的基礎題型．