Question

已知直線a、b、c，平面α∩平面β＝a，bα，cβ，且b與c無公共點，則b與c不平行的充要條件是

[　　]

A．b、c都與α相交

B．b、c中只有一條與α相交

C．b、c中至多一條與α相交

D．b、c中至少有一條與α相交

Answer 1

答案：D
解析：

解法一：若直線b與c不平行，又由b與c無公共點，則b與c必定異面，根據異面直線的定義和線面位置關系可知或者b與c都與a相交，或者b、c中有一條與a相交，另一條與a平行，即b、c中至少有一條與α相交，即D成立；反之，當D成立時，不難證明b與c必不平行，所以應選D． 　　解法二：由題設及異面直線的定義可知，若b、c都與a相交能推出b與c異面，即b與c不平行；反過來，b與c不平行不一定推出b、c都與a相交，即A是充分非必要條件，而不是充要條件，同理，B也是充分非必要條件，而非充要條件，又由b、c中至多有一條與a相交，包含b、c中有一條與a相交和b、c都不與a相交兩種情形，而對于后者，即b∥a且c∥a，則b∥c．故c既非充分又非必要條件，綜上所述，排除A、B、C三個選擇項，從而選擇D．

提示：

本題考查直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，充要條件，以及空間想象能力和等價轉化能力．