Question

已知0＜x＜

π

4

，sin（2x-

π

3

）=

5

13

，則

cos2x

cos( π 4 +x)

值為

3 39 +2 13

13

．

Answer 1

分析：根據同角三角函數的基本關系，結合兩角和的正弦公式算出sin2x=sin[（2x-

π

3

）+

π

3

]=

5+12 3

26

．利用二倍角余弦公式和余弦的和角公式，將原式化簡得原式=

2

(sinx+cosx)，結合前面的結論即可得到本題的答案．

解答：解：∵0＜x＜

π

4

，得2x-

π

3

∈（-

π

3

，

π

6

）
∴由sin（2x-

π

3

）=

5

13

，可得cos（2x-

π

3

）=

12

13

sin2x=sin[（2x-

π

3

）+

π

3

]=

5

13

×

1

2

+

12

13

×

3

2

=

5+12 3

26

∵

cos2x

cos( π 4 +x)

=

cos2x-sin2x

2 2 (cosx-sinx)

=

2

(sinx+cosx)
∴原式²=2（1+sin2x）=

31+12 3

13

=

(3 3 +2)2

13

因此，原式=

3 3 +2

13

=

3 39 +2 13

13

故答案為：

3 39 +2 13

13

點評：本題求三角函數的值，著重考查了同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式和二倍角的三角函數公式等知識，屬于中檔題．