Question

下列命題中正確的有

 

．（填上所有正確命題的序號）
①若f（x）可導且f'（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點；
②函數f（x）=xe^-x，x∈[2，4]的最大值為2e^-2；
③已知函數f(x)=

-x2+2x

，則∫_1f(x)dx的值為

π

4

；
④一質點在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運動，從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的路程為

4

3

(m)．

Answer 1

分析：利用極值點滿足的條件判斷出命題①錯；通過對函數求導數，判斷出導函數的符號，判斷出函數的單調性，求出函數的最值，判斷出②對；利用定積分的幾何意義，判斷出③對；利用對速度求定積分得到路程判斷出④對．

解答：解：對于①，極值點滿足的條件是導數為0，且左右兩邊的函數值符號相反，故①錯
對于②，f′（x）=e^-x（1-x），∵x∈[2，4]∴f′（x）＜0∴f（x）在[2，4]上為減函數，故f（x）的最小值是f（2）=2e^-2
對于③，f(x)=

-x2+2x

的圖象是上半個圓，∴∫₀¹f（x）d_x表示

1

4

個圓，所以面積為

π

4

，故③對
對于④，從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的路程為

∫

4 0

(t2-4t+3)dt=

4

3

，故④對
故答案為②③④

點評：本題考查極值點滿足的條件、考查利用導函數的符號判斷函數的單調性、考查利用函數的單調性求函數的最值、考查定積分的幾何意義及定積分在物理上的應用．