Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求f（2）的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=x-1，且f（x）＞g（x）的解集為（-∞，1），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，則當x=0時，f（x）取到極小值，求出函數的導數代入函數的倒數即可求出b的值
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，根據1是函數f（x）的一個零點，求出ac的關系，根據導數求出導數的兩根，再根據f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，求出a的取值范圍
（Ⅲ）點（1，0）是函數f（x）和函數g（x）的圖象的一個交點，結合函數f（x）和函數g（x）的圖象及其增減特征可知，當且僅當函數f（x）和函數g（x）的圖象只有一個交點（1，0）時，f（x）＞g（x）的解集為（-∞，1）．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2ax+b、（1分）
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
∴當x=0時，f（x）取到極小值，即f′（0）=0、∴b=0、（3分）
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，∴c=1-a、（5分）
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x₁=0，x₂=，
∵f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，
∴x₂=＞1，即a、（7分）
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7、
故f（2）的取值范圍為（-，+∞）、（9分）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞、
∵1是函數f（x）的一個零點，∴f（1）=0，
∵g（x）=x-1，∴g（1）=0，
∴點（1，0）是函數f（x）和函數g（x）的圖象的一個交點、（10分）
結合函數f（x）和函數g（x）的圖象及其增減特征可知，當且僅當函數f（x）和函數g（x）的圖象只有一個交點（1，0）時，f（x）＞g（x）的解集為（-∞，1）、
即方程組（1）只有一個解、（11分）
由-x³+ax²+1-a=x-1，得（x³-1）-a（x²-1）+（x-1）=0、
即（x-1）（x²+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0、
即（x-1）[x²+（1-a）x+（2-a）]=0、
∴x=1或x²+（1-a）x+（2-a）=0、（12分）
由方程x²+（1-a）x+（2-a）=0，（2）
得△=（1-a）²-4（2-a）=a²+2a-7、∵a＞，
當△＜0，即a²+2a-7＜0，解得（13分）
此時方程（2）無實數解，方程組（1）只有一個解、
所以時，f（x）＞g（x）的解集為（-∞，1）、（14分）
（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞、
∵1是函數f（x）的一個零點
∴f（x）=-（x-1）[x²+（1-a）x+1-a]
又f（x）＞g（x）的解集為（-∞，1），
∴f（x）-g（x）=-（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0解集為（-∞，1）（10分）
∴x²+（1-a）x+2-a＞0恒成立（11分）
∴△=（1-a）²-4×1×（2-a）＜0（12分）
∴a²+2a-7＜0，∴（a+1）²＜8
（14分）
點評：該題考查函數的求導，根據函數的零點求出a的取值范圍，利用判別式求方程的解，