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已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=3,滿足Sn=6-2an+1(n∈N*),
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想an的表達式;
(3)用數學歸納法證明(2)的猜想.
分析:(1)由題設條件,分別令n=2和n=3,4,能夠得到a2,a3,a4的值
(2)由前幾項猜想猜想an=
3
2n-1
(n∈N*);
(3)先證n=1時,命題成立;再利用假設及遞推關系證明n=k+1時,命題成立.
解答:解:(1)因為a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*),所以S1=6-2a2=a1=3
解得a2=
3
2
,…(理(2分),文3分)
S2=6-2a3=a1+a2=3+
3
2

解得a3=
3
4
…(理(3分),文6分)
S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+
3
2
+
3
4

所以有a4=
3
8
…(理(5分),文9分)
(2)由(1)知a1=3=
3
20
a2=
3
2
=
3
21
a3=
3
4
=
3
22
a4=
3
8
=
3
23

猜想an=
3
2n-1
(n∈N*)…(理(9分),文14分)
(3)①由(1)已得當n=1時,命題成立;…(理10分)
②假設n=k時,命題成立,即 ak=
3
2k-1
,…(理11分)
當n=k+1時,Sk=6-2ak+1(k∈N*)a1+a2+…+ak=6-2ak+1
即3+
3
2
+
3
4
+…+
3
2k-1
=6-2ak+1
ak+1=
3
2k

即當n=k+1時,命題成立.…(理13分)
根據①②得n∈N+,an=
1
2n-1
都成立…(理14分)
點評:本題考查數列的性質和應用,解題時要認真審題,注意數列遞推式的合理運用,考查數學歸納法思想的運用.
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