Question

在△ABC中，a²+b²=dc²，且

1

tanC

=1005(

1

tanA

+

1

tanB

)，則常數(shù)d的值等于

2011

．

Answer 1

分析：將已知第二個(gè)等式右邊括號(hào)中通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，整理后利用誘導(dǎo)公式變形，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，并利用余弦定理表示出cosC，代入化簡(jiǎn)后的式子中，整理后與已知的第一個(gè)等式比較，即可求出常數(shù)d的值．

解答：解：∵

1

tanC

=1005（

1

tanA

+

1

tanB

）=1005•

tanA+tanB

tanAtanB

，
∴1005•tanC=

tanAtanB

tanA+tanB

，
∴

sinAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=1005•

sinC

cosC

，
即sinAsinBcosC=1005sin（A+B）sinC=1005sin²C，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：abcosC=1005c²，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴a²+b²-c²=2010c²，即a²+b²=2011c²，又a²+b²=dc²，
則d=2011．
故答案為：2011

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．