Question

【題目】【2016高考山東文數(shù)】已知橢圓C:（a>b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2.

（I）求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B.

(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值.

(ii)求直線AB的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)分別計(jì)算即得.

(Ⅱ)(i)設(shè)，

利用對(duì)稱點(diǎn)可得

得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.

(ii)設(shè)，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程

聯(lián)立，

應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、及用表示的式子，進(jìn)一步應(yīng)用基本不等式即得.

試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c，

由題意知，

所以，

所以橢圓C的方程為.

(Ⅱ)(i)設(shè)，

由，可得

所以 直線PM的斜率 ，

直線QM的斜率.

此時(shí)，所以為定值.

(ii)設(shè)，

直線PA的方程為，

直線QB的方程為.

聯(lián)立 ，

整理得.

由可得 ，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知，

所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.

此時(shí)，即，符號(hào)題意.

所以直線AB 的斜率的最小值為 .