Question

7．已知n∈N^*，數列{a_n}的各項為正數，前n項的和為S_n，且a₁=1，a₂=2，設b_n=a_2n-1+a_2n．
（1）如果數列{b_n}是公比為3的等比數列，求S_2n；
（2）如果對任意n∈N^*，S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，求數列{a_n}的通項公式；
（3）如果S_2n=3（2ⁿ-1），數列{a_na_n+1}也為等比數列，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）b₁=a₁+a₂=3，可得b_n=3ⁿ=a_2n-1+a_2n．利用分組求和與等比數列的求和公式即可得出S_2n．
（2）對任意n∈N^*，S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，可得n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，a_n＞0．可得a_n-a_n-1=1，利用等差數列的通項公式即可得出．
（3）由S_2n=3（2ⁿ-1），且a₁=1，a₂=2，可得a₁+a₂+a₃+a₄=9，可得a₃+a₄=6．由數列{a_na_n+1}也為等比數列，設公比為q=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，可得數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為q．即可得出．

解答 解：（1）b₁=a₁+a₂=3，∴b_n=3ⁿ=a_2n-1+a_2n．
∴S_2n=3+3²+…+3ⁿ=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
（2）對任意n∈N^*，S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+n-1}{2}$，化為：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，a_n＞0．
∴a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（3）∵S_2n=3（2ⁿ-1），且a₁=1，a₂=2，
∴a₁+a₂+a₃+a₄=3×（2²-1）=9=1+2+a₃+a₄，
∴a₃+a₄=6．
∵數列{a_na_n+1}也為等比數列，設公比為q=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為q．
∴a₃=q，a₄=a₂q=2q，
∴q+2q=3×2，解得q=2．
∴${a}_{2n-1}={a}_{1}{q}^{n-1}$=2^n-1，
a_2n=${a}_{2}{q}^{n-1}$=2ⁿ．
可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n=2k-1}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的定義通項公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．