Question

設(shè)函數(shù)f(θ)=sinθ+cosθ,其中,角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),求f(θ)的值;
(2)若點(diǎn)P(x,y)為平面區(qū)域Ω: 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定角θ的取值范圍,并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值.

Answer 1

(1)2
(2)θ=時(shí),f(θ)取得最大值,且最大值等于2
θ=0時(shí),f(θ)取得最小值,且最小值等于1

解析解:(1)由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得

于是f(θ)=sinθ+cosθ=×+=2.
(2)作出平面區(qū)域Ω(即三角形區(qū)域ABC)如圖所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
于是0≤θ≤.

又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+),
且≤θ+≤,故當(dāng)θ+=,
即θ=時(shí),f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
當(dāng)θ+=,
即θ=0時(shí),f(θ)取得最小值,且最小值等于1.