Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點，F為ED的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求證：CF∥平面BAE．

Answer 1

證明：（1）因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，且AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC，…（4分）
又CD?平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD．…（6分）
（2）取AE中點G，連接FG，B G．
因為F為ED的中點，
所以FG∥AD．…（8分）
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC=60°，
所以AC=AD，
所以BC=AD．
在△ABC中，AB=BC=AC，所以∠ACB=60°，
可得∠ACB=∠DAC，
所以AD∥BC．…（11分）
所以FG∥BC，FG=BC，
所以四邊形FGBC為平行四邊形，
所以CF∥BG．
又BG?平面BAE，CF?平面BAE，
所以CF∥平面BAE． …（14分）
分析：（1）由題意可得：PA⊥CD，又AC⊥CD，即可利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，進而利用面面垂直的判斷定理可得答案．
（2）取AE中點G，連接FG，B G，可得FG∥AD，再利用解三角形的有關知識可得：BC=AD，即可得到∠ACB=60°，所以∠ACB=∠DAC，可得四邊形FGBC為平行四邊形，即
CF∥BG，進而利用線面平行的判斷定理可證明線面平行．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握線面垂直、面面垂直、線面平行的判斷定理，以及解三角形的有關知識，此題屬于中檔題，高考題目的熱點之一．