Question

已知函數f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx                   x≤0

，g（x）=clnx+b，且x=

2

是函數y=f（x）的極值點．
（1）當x＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數b，m滿足的條件；
（3）直線l是函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖象在x₀處的公切線，若x₀∈[2，4]，求

b

c

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）考查函數的導數在極值點兩側的符號，導數大于0的區間是函數的增區間，小于0的區間是函數的減區間．
（2）根據函數的單調性求出f（x）的值域，要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，分b＞0、b=0、b＜0 三種情況求出實數m的取值范圍．
（3）利用導函數分別求出兩個函數的切線方程，利用方程相等，對應項系數相等即可求出關于實數b，c的等式，再借助于其導函數即可求出

b

c

的取值范圍．（注意范圍限制）．

解答：解：（1）當x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．          
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
當x∈(0，

2

)時，f'（x）＜0，當x∈(

2

，+∞)時，f'（x）＞0．            
當x＞0時，f（x）的遞增區間為(

2

，+∞)，遞減區間為(0，

2

)．         
（2）由（1）知，當x∈(0，

2

)時，f（x）單調遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當x∈(

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．
要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或m=(2-

2

)e

2

；                                
②當b=0時，m∈((2-2

2

)e

2

，0)；                                   
③當b＜0時，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．
（3）x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
∴f(x0)=(x02-2x0)ex0，f/(x0)=(x02-2)ex0
∴l：y=(x02-2)ex0x+(x02-x03)ex0
∵g（x）=clnx+b，∴g/(x)=

c

x

，∴g（x₀）=clnx₀+b，
∴g/(x0)=

c

x0

，∴l：y=

c

x0

x+clnx0+b-c，
∴

(x02-2)ex0= c x0 (x02-x03)ex0=clnx0+b-c

兩式相除得

x02-x03

x02-2

=

clnx0+b-c

c x0

，整理得

b

c

=

x0-x02

x02-2

+1-lnx0，
(

b

c

)/=

-x04-x03+8x02-2x0-4

x0(x02-2)2

，
令h(x0)=-x04-x03+8x02-2x0-4
則h/(x0)=-4x03-3x02+16x0-2=-4x0(x02-4)-3x02-2
∵x₀∈[2，4]，∴h′（x₀）＜0，∴h（x₀）在[2，4]遞減，h（x）≤h（2）=0，
∴(

b

c

)/≤0僅在x₀=2取等號，∴

b

c

在[2，4]遞減，
∴

b

c

∈[

1

7

-ln4，-ln2]

點評：本題考查函數在某點存在極值的條件，利用導數研究單調性和極值，體現了分類討論的數學思想．