Question

若直線mx+ny-3=0與圓x²+y²=3沒有公共點，則m、n滿足的關系式為    ；以（m，n）為點P的坐標，過點P的一條直線與橢圓+=1的公共點有    個．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線mx+ny-3=0與圓x²+y²=3沒有公共點即為將方程代入圓中消去x得到方程無解，利用根的判別式小于零求出m與n的關系式即可；
（2）由（1）得到m與n的絕對值的范圍，在根據橢圓的長半軸長和短半軸長，比較可得公共點的個數．
解答：解：（1）將直線mx+ny-3=0變形代入圓方程x²+y²=3，消去x，得
（m²+n²）y²-6ny+9-3m²=0．令△＜0得m²+n²＜3．
又m、n不同時為零，
∴0＜m²+n²＜3．
（2）由0＜m²+n²＜3，可知|n|＜，|m|＜，
再由橢圓方程a=，b=可知公共點有2個．
故答案為0＜m²+n²＜3，2
點評：考查學生綜合運用直線和圓方程的能力．以及直線與圓錐曲線的綜合運用能力．