Question

【題目】已知數列{an}的首項a1=a（a＞0），其前n項和為Sn ， 設bn=an+an+1（n∈N*）．
（1）若a2=a+1，a3=2a2 ， 且數列{bn}是公差為3的等差數列，求S2n；
（2）設數列{bn}的前n項和為Tn ， 滿足Tn=n2 ．
①求數列{an}的通項公式；
②若對n∈N*，且n≥2，不等式（an﹣1）（an+1-1）≥2（1﹣n）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：bn+1﹣bn=an+2﹣an=3，

∴數列{an}的奇數項與偶數項分別成等差數列，且公差為3．

∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．

∴a1=1，a2=2．

∴S2n= + =3n2

（2）解：①由Tn=n2，n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．

n=1時，b1=T1=1．

∴bn=an+an+1=2n﹣1．

化為：an+1﹣n=﹣[an﹣（n﹣1）]，

∴數列{an﹣（n﹣1）}為等比數列，公比為﹣1．首項為a．

∴an﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即an=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，

②不等式（an﹣1）（an+1-1）≥2（1﹣n）化為：anan+1﹣（an+an+1）+1≥2（1﹣n），由an+an+1=2n﹣1．

∴不等式化為：anan+1≥0．當n為奇數時，an=a+（n﹣1），an+1=﹣a+n，

∴anan+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）對n∈N*，且n≥2恒成立．

∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．

當n為偶數時，an=﹣a+（n﹣1），an+1=a+n，

∴anan+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）對n∈N*，且n≥2恒成立．

∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．

又a＞0，可得a的取值范圍為：0＜a≤1

【解析】（1）由等差數列定義可得bn+1bn=d；（2）已知數列的前n項和Tn，則根據bn=可求出數列的通項，然后構造數列cn=an-（n-1）即可求解；將不等式（an-1）（an+1-1）2（1-n）化化為anan+1-（an+an+1)2(1-n），然后按n的奇、偶分類導論即可求解。