Question

已知方程x²+（2k-1）x+k²=0，求使方程有兩個大于1的實數根的充要條件．

Answer 1

分析：解法一，將兩個根都減去1將已知中的兩個大于1的實數根轉化為兩個數都大于0轉化為兩個數的和大于0同時積大于0，利用韋達定理轉化為k的不等式，求出k的范圍．
解法二，構造相應的函數，結合函數的圖象從對稱軸與區間的關系、區間兩個端點的函數值的符號、判別式三個方面加以限制，寫出充要條件．

解答：解：法一：∵x²+（2k-1）x+k²=0，則方程有兩個大于1的實數根x₁、x₂：

? △=(2k-1)2-4k2≥0 (x1-1)(x2-1)＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0

?

k≤ 1 4 x1x2-(x1+x2)+1＞0 (x1+x2)-2＞0

?

k≤ 1 4 k2+(2k-1)+1＞0 -(2k-1)-2＞0

?k＜-2
所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是：k＜-2         
法二：∵方程x²+（2k-1）x+k²=0對應的函數為f（x）=x²+（2k-1）x+k²
方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個大于1的實數根

? △=(2k-1)2-4k2≥0 - (2k-1) 2 ＞1 f(1)=k2+2k＞0

?

k≤ 1 4 k＜- 1 2 k＜-2或k＞0

?k＜-2
所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是：k＜-2

點評：解決二次方程的實根分布問題，一般先畫出相應的二次函數的圖象，結合圖象從對稱軸與區間的關系、區間兩個端點的函數值的符號、判別式三個方面加以限制即可．