Question

已知直線x-2y+4=0經過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在（0，+∞）上變化時，討論S的大小與Q點的個數之間的關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），由此能求出橢圓C的方程．
（2）線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k）．由題設條件可以求出 ，求得|MN|，再由均值不等式進行求解．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，，設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯立得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得最后即可解決問題．
解答：解：（1）由已知得橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k），設P（x，y），則，∴直線BP的方程為：，
得
∴
當且僅當即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值3．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，，此時直線BP的方程為
設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯立得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得
當時，BP與l'的距離為，此時S_△BPQ=
當時，BP與l'的距離為，此時S_△BPQ=
∴當時，這樣的Q點有4個
當時，這樣的Q點有3個
當時，這樣的Q點有2個
當時，這樣的Q點有1個
當時，這樣的Q點不存在．
點評：本題考查橢圓與直線的位置關系，（3）解答關系是利用方程的思想轉化成根的判別等于0的問題，另外解題時要注意公式的靈活運用．