Question

已知直線x-2y+4=0經過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在（0，+∞）上變化時，討論S的大小與Q點的個數之間的關系．

Answer 1

分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），由此能求出橢圓C的方程．
（2）線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k）．由題設條件可以求出 N(5，-

1

4k

)，求得|MN|，再由均值不等式進行求解．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，k=

1

6

，設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

最后即可解決問題．

解答：解：（1）由已知得橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k），設P（x₀，y₀），則kAP•kBP=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

=-

1

4

，∴直線BP的方程為：y=-

1

4k

(x-4)，
得N(5，-

1

4k

)
∴|MN|=|9k+

1

4k

|=9k+

1

4k

≥2

9k• 1 4k

=3
當且僅當9k=

1

4k

即k=

1

6

時等號成立
∴k=

1

6

時，線段MN的長度取最小值3．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，k=

1

6

，此時直線BP的方程為3x+2y-12=0，P(

16

5

，

6

5

)，|BP|=

2

5

13

設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

當t=-4

10

時，BP與l'的距離為

4 10 -12

13

，此時S_△BPQ=

4

5

(

10

-3)
當t=4

10

時，BP與l'的距離為

4 10 +12

13

，此時S_△BPQ=

4

5

(

10

+3)
∴當0＜s＜

4

5

(

10

-3)時，這樣的Q點有4個
當S=

4

5

(

10

-3)時，這樣的Q點有3個
當

4

5

(

10

-3)＜s＜

4

5

(

10

+3)時，這樣的Q點有2個
當S=

4

5

(

10

+3)時，這樣的Q點有1個
當S＞

4

5

(

10

+3)時，這樣的Q點不存在．

點評：本題考查橢圓與直線的位置關系，（3）解答關系是利用方程的思想轉化成根的判別等于0的問題，另外解題時要注意公式的靈活運用．