Question

選做題（考生只能從A、B、C題中選作一題）
A、已知直線x+2y-4=0與

x=2-3cosθ y=1+3sinθ

（θ為參數）相交于A、B兩點，則|AB|=

 

．
B、若關于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0有實根，則實數a的取值范圍為

 

．
C、如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CAP=30°，
則PC=

 

cm．

Answer 1

分析：A、把圓的參數方程化為普通方程后，聯立直線和圓的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，設出兩交點的坐標，把兩點坐標代入直線方程即可得到橫坐標之差的平方與縱坐標之差的平方的關系，由韋達定理求出縱坐標之差的平方，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|的長；
B、由關于x的方程有實根得到根的判別式大于等于0，列出關于a的不等式，利用數軸上兩點間的距離公式，畫出數軸即可得到a的取值范圍；
C、連接OC，得到OC垂直于PC，因為OA等于OC，利用等邊對等角得到角PAC等于角ACO，利用三角形AOC的外角性質可知角COP等于60°，即可得到角P等于30°，由圓的直徑等于6cm可得半徑OC等于3cm，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理即可求出PC的長．
三道題選作一題即可．

解答：解：A、把圓的方程化為普通方程得：（x-2）²+（y-1）²=9，
聯立直線與圓的方程得

x+2y-4=0 (x-2)2+(y-1)2=9

，消去x得到：5y²-10y-4=0
設直線與圓的兩交點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
而y₁+y₂=2，y₁y₂=-

4

5

，所以（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

36

5

，
把兩點代入直線方程得（x₁-x₂）²=4（y₁-y₂）²，
所以|AB|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

5(y1-y2)2

=6；
B、由題意可知△=16-4（|a-1|+|a+1|）≥0，
即|a-1|+|a+1|≤4，表示數軸上一點a到1和-1的距離之和小于4，畫出數軸如下：

所以a∈[-2，2]；
C、連接OC，則OC⊥PC，
∵OA=OC，∴∠CAP=∠ACO=30°，
則∠COP=∠CAP+∠ACO=2∠CAP=60°，所以∠P=30°，
∵AB=6cm，∴OC=3cm，則OP=6cm，
所以PC=

62-32

=3

3

cm．
故答案為：A：6；B：[-2，2]；C：3

3

．
三道題選作一題即可．

點評：此題要求學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，利用數形結合的數學思想解決實際問題，掌握圓及直角三角形的基本性質，是一道多知識的綜合題．