Question

【題目】如圖，點,,,分別為橢圓: 的左、右頂點，下頂點和右焦點，直線過點，與橢圓交于點，已知當直線軸時，.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若當點與重合時，點到橢圓的右準線的距離為上.

①求橢圓的方程;

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】分析：（1）先求當直線軸時，，再根據條件得，最后由解得離心率，（2）設直線為，，，，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理化簡，即得

，令，利用基本不等式求最值，最后考慮特殊情形下三角形面積的值.

詳解：解：（1）在中，令

可得，所以

所以當直線軸時，

又，所以

所以，所以

（2）① 因為，所以，

橢圓方程為

當點與點重合時，點坐標為

又，所以此時直線為

由得

又，所以

所以橢圓方程為

② 設直線為

由得

即，恒成立

設，

則 ，

所以

令，則且

，

易知函數在上單調遞增

所以當時，

即的面積的最大值為