Question

已知函數定義在上，對任意的，，且．

（1）求，并證明：；

（2）若單調，且．設向量，，對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）抽象函數求值可以采用賦值法；證明問題，可以采用構造法；

（2）因為單調，可先用特殊值法確定其增減性，從而將恒成立轉化為恒成立，其中；然后令，通過換元法最終轉化為函數的最值問題．

試題解析：解:（1）令得，又∵，， 2分

由得=，

∵，∴． 5分

（2）∵，且是單調函數，∴是增函數． 6分

而，∴由，得，

又∵因為是增函數，∴恒成立，．

即． 8分

令，得 （﹡）．

∵，∴，即．

令， 10分

①當，即時，只需，（﹡）成立，

∴，解得； 11分

②當，即時，只需，（﹡）成立，

∴，解得，∴． 12分

③當，即時，只需，（﹡）成立，

∴， ∴，

綜上，．

考點：1、抽象函數；2、平面向量的數量積；3、換元法；4、等價轉化的思想和分類討論的思想．