Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，∠ACB=45°，CC₁=2AC=4，D為CC₁中點(diǎn)．
（1）證明：A₁D⊥ABD；
（2）求三棱錐A₁-DAB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁D⊥平面ABD．
（2）利用向量法能求出|

AB

|=2，|

AD

|=2

2

，

AB

•

AD

=0，由此能求出三棱錐A₁-DAB的體積．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，
∠BAC=90°，
∴以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠ACB=45°，CC₁=2AC=4，D為CC₁中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，4），D（0，2，2），
B（2，0，0），
∴

AD

=（0，2，2），

BD

=（-2，2，2），

A1D

=（0，-2，2），
∵

A1D

•

AD

=0，

A1D

•

BD

=0，
∴A₁D⊥AD，A₁D⊥BD，AD∩BD=D，
∴A₁D⊥平面ABD．
（2）解：∵

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，2，2），
∴|

AB

|=2，|

AD

|=2

2

，

AB

•

AD

=0，
∴S_△ABD=

1

2

|

AB

|•|

AD

|=

1

2

×2×2

2

=2

2

，
∵A₁D⊥平面ABD，且|

A1D

|=2

2

，
∴三棱錐A₁-DAB的體積：
V=

1

3

×|

A1D

|×S△ABD=

1

3

×2

2

×2

2

=

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．