Question

設f（x）是定義在R上的函數，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集為（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：本題構造新函數g（x）=e^xf（x）-e^x，利用條件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函數g（x）單調遞增，再利用f（0）=2，得到函數g（x）過定點（0，1），解不等式e^xf（x）＞e^x+1，即研究g（x）＞1，結合函數的圖象，得到x的取值范圍，即本題結論．

解答： 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x，
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x，
∵對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴函數y=g（x）在R上單調遞增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴當x＜0時，g（x）＜1；
當x＞0時，g（x）＞1．
∵e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）-e^x＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故選A．

點評：本題考查了函數的導數與單調性，還考查了構造法思想，本題有一定的難度，計算量適中，屬于中檔題．