Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）．
（Ⅰ）若x=

π

6

，求向量

a

、

c

的夾角；
（Ⅱ）當x∈[

π

2

，

9π

8

]時，求函數f(x)=2

a

•

b

+1的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出向量

a

、

c

的坐標，及向量的模，代入兩個向量的夾角公式進行運算．
（Ⅱ）利用兩個向量的數量積公式及三角公式，把函數的解析式化為某個角三角函數的形式，根據角的范圍，結合
三角函數的單調性求出函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）當x=

π

6

時，
cos?

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=

-cosx

cos2x+sin2x × (-1)2+02

=-cosx=-cos

π

6

 
=cos

5π

6

，∵0≤?

a

，

c

＞≤π，∴?

a

，

c

＞=

5π

6

．
（Ⅱ）f(x)=2

a

•

b

+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-（2cos²x-1）
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，故 sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]，
∴當 2x-

π

4

=

3π

4

，
即  x=

π

2

時，f（x）_max =1．

點評：本意考查兩個向量的夾角公式，兩個向量的數量積運算以及三角公式的應用，利用三角函數的單調性、有界性求其值域．