Question

已知函數，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，試判斷函數f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調性，并證明你的結論；

（2）設函數 若對任意大于等于2的實數x1，總存在唯一的小于2的實數x2，使得g (x1) = g (x2) 成立，試確定實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調減函數，（2）（0，4）.

【解析】

試題分析：（1）兩個函數獨立，可分別論證函數在上單調遞減，再得函數f(x)為單調減函數．因為，所以當0<m≤2，x≥2時，，從而函數f(x)為單調減函數．（2）結合圖形分析，可知討論點為當 m≤0時，，所以g (x1) = g (x2)不成立．當0＜m＜2時，，，，，所以g (x1) = g (x2)恒成立．當2≤m＜4時，，，，所以g (x1) = g (x2)恒成立．當m≥4時，不成立.

【解析】
（1）f (x)為單調減函數．

證明：由0<m≤2，x≥2，可得

==．

由 ，

且0<m≤2，x≥2，所以．從而函數f(x)為單調減函數．

（亦可先分別用定義法或導數法論證函數在上單調遞減，再得函數f(x)為單調減函數．）

（2）①若m≤0，由x1≥2，，

x2＜2，，

所以g (x1) = g (x2)不成立．

②若m＞０，由x＞2時，，

所以g(x)在單調遞減．從而，即．

（a）若m≥2，由于x＜２時，，

所以g(x)在(－∞,2)上單調遞增，從而，即．

要使g (x1) = g (x2)成立，只需，即成立即可．

由于函數在的單調遞增，且h(4)=0，

所以2≤m＜4．

（b）若0＜m＜2，由于x＜2時，

所以g(x)在上單調遞增，在上單調遞減．

從而，即．

要使g (x1) = g (x2)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜m＜2，得 ．

故當0＜m＜2時，恒成立．

綜上所述，m為區間（0，4）上任意實數．

考點：利用導數研究函數單調性，利用導數求參數取值范圍