Question

橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，該橢圓經過點且離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

解：（1）橢圓的標準方程為（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
∴（6分）
∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，k，且均滿足3+4k²-m²＞0，（9分）
當m₁=-2k時，l的方程為y=k（x-2），則直線過定點（2，0）與已知矛盾
當時，l的方程為，則直線過定點
∴直線l過定點，定點坐標為（12分）
分析：（1）根據橢圓的方程和簡單幾何性質，使用待定系數法即可；
（2）要證明直線系y=kx+m過定點，就要找到其中的參數k，m之間的關系，把雙參數化為但參數問題解決，這只要根據直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點即可，這個問題等價于橢圓的右頂點與A，B的張角是直角．
點評：本題考查圓錐曲線與方程．直線系過定點時，必需是直線系中的參數為但參數，對于含有雙參數的直線系，就要找到兩個參數之間的關系把直線系方程化為單參數的方程，然后把x，y當作參數的系數把這個方程進行整理，使這個方程關于參數無關的成立的條件就是一個關于x，y的方程組，以這個方程的解為坐標的點就是直線系過的定點．