Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，右準線為x=3

2

，離心率為

6

3

．若直線y=t（t＞o）與橢圓C交于不同的兩點A，B，以線段AB為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-

3

y+1=0截得的線段長．

Answer 1

分析：（1）由已知條件設出橢圓方程，利用準線方程和離心率求出a和c的值，結合隱含條件求出b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程求出A，B的坐標進一步求出向量

OA

，

OB

的坐標，根據(jù)圓M與x軸相切得到兩個向量的數(shù)量積等于0，代入坐標后求出t的值，則圓心坐標和半徑可求，利用弦心距公式求弦長．

解答：解：（1）由題意設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵

a2

c

=3

2

，

c

a

=

6

3

，∴a=2

3

，c=2

2

．
∴bb²=a²-c²=4．
則橢圓C的標準方程為

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）聯(lián)立

y=t(t＞0) x2 12 + y2 4 =1

，得x=±

12-3t2

．
∴A(-

12-3t2

，t)，B(

12-3t2

，t)．
則

OA

=(-

12-3t2

，t)，

OB

=(

12-3t2

，t)．
∵圓M與x軸相切，
∴

OA

•

OB

=0，即-（12-3t²）+t²=0，解得t=

3

．
∴圓M的圓心為（0，

3

），半徑為

12-3t2

=

3

．
∴圓心M到直線x-

3

y+1=0的距離為d=

|-3+1|

12+ 3 2

=1．
所以圓M被直線x-

3

y+1=0截得的線段長為2

3 2-12

=2

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了利用向量數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了學生的運算能力，是難題．