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已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(
3
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過點(diǎn)E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.
分析:(1)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),利用所給條件列出方程組,解出即可;
(2)易判斷直線l不存在斜率時(shí)不合題意,當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由|EA|=2|EB|可得關(guān)于x1,x2的方程,連同韋達(dá)定理聯(lián)立方程組即可求得k值;
解答:解:(1)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
由已知可得
c
a
=
3
2
3
a2
+
1
4b2
=1
a2=b2+c2.
,解得a2=4,b2=1.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1

(2)由已知,①若直線l的斜率不存在,則過點(diǎn)E(-1,0)的直線l的方程為x=-1,
此時(shí)A(-1,
3
2
),B(-1,-
3
2
)
,顯然|EA|=2|EB|不成立.
②若直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為y=k(x+1).
x2
4
+y2=1
y=k(x+1).
,整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.
由△=(8k22-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
x1+x2=-
8k2
4k2+1
,①x1x2=
4k2-4
4k2+1
. ②
因?yàn)閨EA|=2|EB|,所以
EA
=-2
EB
,則x1+2x2=-3.③
①②③聯(lián)立解得k=±
15
6
.            
所以直線l的方程為
15
x+6y+
15
=0
15
x-6y+
15
=0
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力,有一定綜合性.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn).
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn),設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E,求證:直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M;
(III)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在(II)的條件下,過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn),求
OS
OT
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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