Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4，且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4

5

x的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程．
（2）已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2，0）且斜率不為0的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得PM始終平分∠APB？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c．由拋物線y2=4

5

x方程得焦點(diǎn)(

5

，0)，可得c．又短軸長(zhǎng)為4，可得2b=4，解得b．再利用a²=b²+c²即可得到a．
（2）假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P（t，0）（t≠2）使得PM始終平分∠APB．設(shè)直線l的方程為my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（9+5m²）y²+20my-25=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由于PM平分∠APB，利用角平分線的性質(zhì)可得

|PA|

|PB|

=

|AM|

|BM|

，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)求出t的值即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c．
由拋物線y2=4

5

x方程得焦點(diǎn)(

5

，0)，∴c=

5

．
又短軸長(zhǎng)為4，∴2b=4，解得b=2．
∴a²=b²+c²=9．
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P（t，0）（t≠2）使得PM始終平分∠APB．
設(shè)直線l的方程為my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

my=x-2 x2 9 + y2 5 =1

，化為（9+5m²）y²+20my-25=0，
則y1+y2=

-20m

9+5m2

，y1y2=

-25

9+5m2

．（*）
∵PM平分∠APB，∴

|PA|

|PB|

=

|AM|

|BM|

，
∴

(x1-t)2+ y 2 1

(x2-t)2+ y 2 2

=

|y1|

|y2|

，化為

(x1-t)2

(x2-t)2

=

y 2 1

y 2 2

，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式得（2-t）（y₁-y₂）[2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）]=0，
∵2-t≠0，y₁-y₂≠0，∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0．
把（*）代入上式得

-50m

9+5m2

+

(2-t)(-20m)

9+5m2

=0，
化為m（9-2t）=0，
由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)上式都成立，∴t=

9

2

．
因此存在點(diǎn)P(

9

2

，0)滿足PM始終平分∠APB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．