Question

如圖，已知三棱錐S-ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，側(cè)面SAC與底面ABC所成二面角為60°，E、D分別為SA和AC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)S到平面BDE的距離；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）確定點(diǎn)S到平面BDE的距離等于點(diǎn)C到平面BDE的距離，利用等面積，即可求解；
（2）利用三棱錐的體積公式，即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵E、D分別為SA和AC的中點(diǎn)，
∴ED∥SC
∵∠SCA=90°，
∴ED∥AC，
∴點(diǎn)S到平面BDE的距離等于點(diǎn)C到平面BDE的距離，設(shè)為h，
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形
∴BD⊥AC
∵側(cè)面SAC與底面ABC所成二面角為60°
∴∠BDE=60°
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，
∴S△BDE=

1

2

•

1

2

•

3

•

3

2

=

3

8

∵E到平面DBC的距離為

3

4

，S_△BDC=

3

2

∴由等體積可得

1

3

•

3

2

•

3

4

=

1

3

•

3

8

h
∴h=1；
（2）∵E到平面DBC的距離為

3

4

，∴S到平面DBC的距離為

3

2

，
∵S△ABC=

3

∴三棱錐S-ABC的體積為

1

3

•

3

•

3

2

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)面距離的計算，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．