Question

如圖，已知三棱錐S-ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，側面SAC與底面ABC所成二面角為60°，E、D分別為SA和AC的中點．
（1）求點S到平面BDE的距離；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

（1）∵E、D分別為SA和AC的中點，
∴ED∥SC
∵∠SCA=90°，
∴ED∥AC，
∴點S到平面BDE的距離等于點C到平面BDE的距離，設為h，
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形
∴BD⊥AC
∵側面SAC與底面ABC所成二面角為60°
∴∠BDE=60°
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，
∴S△BDE=

1

2

•

1

2

•

3

•

3

2

=

3

8

∵E到平面DBC的距離為

3

4

，S_△BDC=

3

2

∴由等體積可得

1

3

•

3

2

•

3

4

=

1

3

•

3

8

h
∴h=1；
（2）∵E到平面DBC的距離為

3

4

，∴S到平面DBC的距離為

3

2

，
∵S△ABC=

3

∴三棱錐S-ABC的體積為

1

3

•

3

•

3

2

=

1

2

．